對三組數據基尼系數的估算
【內容提要】本文介紹一個粗略估算基尼系數的方法，并根據三組公開的經濟數據，對其基尼系數進行了估算。
1.從三張截圖談起
先看下面 三張截圖：
第一張，是來自于國家統計局2024年2月29日發布的2023年經濟數據。這里把全國居民人均年收入按居民5等份分組。
第二張，是中金公司給出的中國總財富分布數據（分4組）。
第三張，是美聯儲統計的全美總財富的分布數據（分4組）。
面對截圖中的數據，作為外行的我們，能不能設法估量一下國民收入（或財富）貧富差距的大小呢？這就不能不談到基尼系數和洛倫茲曲線。
2.關于洛倫茲曲線
大家知道，基尼系數G是用來衡量某國或某地貧富差距的一個比值。一般認為：G<0.2時居民收入過于平均；0.2-0.3之間時較為平均；0.3-0.4時比較合理；0.4-0.5時差距過大；G>0.5時差距懸殊。
其正規的計算方法是通過洛倫茲（M·O·Lorenz）曲線來進行的（如圖）:
要得到這條曲線：（1）首先要通過大量的調查研究，去得知某地全體（或樣本）每一個人的收入數；（2）計算出每個人的收入在總收入中所占的百分比；（3）把這些百分比由低到高排成一行數據;（4）計算這些百分比數據累計之和y ;（5）計算累計人數百分比x ；（6）建立直角坐標系XOY，將這些點（x,y） 一個一個標在坐標系上；（7）積點成線 ，得到圖中的洛倫茲曲線。
然后才能求圖中B、（A+B）、A的面積，計算基尼系數G。如此海量的調查 、統計、計算、繪圖工作，不是專業人士操作電腦，是 很難完成的。
那么，對于非專業的普通大眾，面對別人調查研究后給出的有限數據，有沒有簡單的、粗略的、估算基尼系數的方法呢？這里介紹一個主要用加減乘除的估算方法——“折線法”（當然還有一點技巧）。
3.舉個簡單例子
【引例】假定有100個人平均分成5組，各組人均月收入分別是1、2、3、4、5（千元）。試求其月收入的基尼系數。
萬事起頭難，下面的計算比較瑣細，要耐下心來看。對算法不感興趣的讀者不妨跳過這兩節，直接看最后一節“算法應用舉例”。
（1）首先算人數百分比：各小組都占20%，那么累計百分比依次就是20%、40%、60%、80%、100%。
（2）再算收入百分比。各組收入合計數分別為2萬元、4萬元、 6萬元、8萬元、10萬元，總計30萬元。各組占比分別為：2÷30=6.67%，4÷30=13.33%，20%，26.67%，33.33%。累計收入百分比 依次為：6.67%， 20%，40%,66.67%,100%。
（3）因此，尚未畫出的坐標系中關鍵點的坐標（化成小數后）分別是A（0.2,0.0667）、B（0.4,0.2）、C（0.6,0.4）、D（0.8,0.6667）、E（1,1）。
充分準備后，方可畫出直角坐標系（如圖）：
由于數據太少，得不出洛倫茲曲線，只能畫出一條折線（這意味著假定各小組內部成員收入絕對平均）來逼近它。圖中一個三角形和四個梯形的面積之和相當于彩圖中的B的面積。
計算S1=0.0667×0.2÷2=0.0067；
S2=(0.0667+0.2)×0.2÷2=0.0267；
S3=(0.2+0.4)×0.2÷2=0.06 ；
S4=0.1067 ； S5=0.1667 ；
SB=S1+S2+S3+S4+S5=0.3667 。
而 SA+B= 1×1÷2=0.5，
所以 SA=0.5-0.3667=0.1333。
G=SA÷SA+B= 0.1333÷0.5=0.2667。
以上，通過不厭其煩的百分比運算，得出這100個人月收入的基尼系數為0.2667。但這只是用“折線法”計算出來的近似值，它小于真正的基尼系數G（估計能小5%-10%）。
事實上，如果不把人數和月收入數都計算出百分比，而是適當改變一下原始數據，并不會影響計算的結果。比如我們把橫坐標擴大5倍，縱坐標擴大15倍，則得到一個新坐標系（圖略）。那么圖中6個點的新坐標將分別是:O（0,0）、A（1,1）、B（2,3）、C（3,6）、D（4,10）、E（5,15）。在新坐標系中 ：
S1=(0+1)×(1-0)÷2=0.5 ； S2=(1+3)×（2-1）÷2=2；
S3=4.5 ；S4=8，S5=12.5，SB=27.5 ； SA+B=(15×5)÷2=37.5。
所以，基尼系數G = SA÷SA+B=(37.5-27.5)÷37.5=0.2667。這樣計算就簡單多了。
4.總結估算方法
從上面例子可以看出，本文介紹的估算方法不僅在于用“折線法”求梯形類面積之和去逼近SB（這是大家都采用的方法），還在于：在兩坐標軸上(人數和收入)的標注方法不拘泥于百分比：（1）既可以用百分比;（2）也可以用原始數據;（3）又可以適當擴大或縮小原數據。這并不會影響計算結果的正確性。用哪種數據計算，僅僅為了方便。
下面把算法步驟總結一下 ：
1.題目中一般都按人們收入由少到多把總人數分成了n個小組，并給出了各小組人數以及各小組人均收入數。第一步先要考慮是否改變人數和收入數的原數據（上面三法選一），并確定下來，用新數據進行計算；
2.計算出前若干個小組人數累計數x；
3.計算各小組的總收入數；
4.計算前若干個小組總收入累計數y；
5.寫出未來圖中各點的坐標：A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），……；
6.畫出直角坐標系XOY，標注坐標軸上的刻度，在圖中標出關鍵點A、B、C……，畫出折線及各個梯形等等；
7.計算各梯形類圖形面積S1、S2、…,Sn；
8.計算SB、SA+B、SA和基尼系數G（算法見前面例子）。
5.算法應用舉例
【例1】2024年2月29日，國家統計局發布了許多經濟數據。截圖1是其中的我國2023年“按居民五等分年收入分組”。抄寫數據如下：
低收入20%人口 9215元；中下收入20%人口20442元；
中等收入20%人口32195元； 中上收入20%人口 50220元；
高收入20%人口95055元。
但國家統計局并沒有公布2023年居民收入的基尼系數G。（自2016年后再沒公布過。 據說是因為無法得知某些高收入人士的真實收入，所以計算的基尼系數偏離實際，不宜公布。）
下面，我們試用這些數據估算一下2023年我國居民年收入的基尼系數，看看這個G大概是多少？
（1）首先，這里給出的原始人口數據的各組百分比都是0.2，我們可以把0.2作為標注X軸的刻度，但我們也不妨擴大5倍，令它們都變成1，計算會更簡單（縱坐標Y就用原始數據）。
（2）列表計算（設我國總人口為14億）
（3）寫出未來坐標系中各點坐標:
A（1,9215） B（2，29657） C（3,61852）
D（4，112072） E（5,207127）
（4）畫出直角坐標系以及各圖形:
（5）根據圖形計算SB、SA+B、SA以及基尼系數G：
S1=9215×1÷2=4607.5 ，
S2=(9215+29657)×（2-1)÷2=19436,
S3=45754.5,S4=86962,S5=159599.5.
求和得SB=316359.5， 然后求得SA+B=517817.5， SA=201458 。
所以，估算的基尼系數G=SA÷SA+B=0.38905（明顯偏小！）
【例2】根據截圖2里中金公司報告的數據（不再重抄了），估算中國民間總財富430萬億劃分的基尼系數（國資類360萬億已除外）。
然而，什么是“財富”呢？是使用價值還是交換價值？只是現金、存款和證券？或是包括房地產在內的資產？還是泛指“所有值錢的東西”（包括服務、知識、健康、青春、關系等等）？這些，在經濟學上并無定論。這里的財富大概是指物質方面。但有一點是肯定的：財富不是指年收入，而是指多年（收入減支出后）結余的存量，還有可能是負值。現在不是有個時髦的詞叫“負產階級”嗎？
拋開這一切，我們只估算基尼系數G。
先列表并作圖（用百分比）：
計算面積S1=0.0698×0.9262÷2=0.03232
S2=(0.0698+0.3256)×0.0705 ÷2=0.01394
S3=(0.3256+1)×0.0033÷2=0.002187
所以SB=0.03232+0.01394+0.002187=0.048447
SA=0.5-0.048447 =0.45155
基尼系數 G=0.45155÷0.5=0.9031.
可見財富集聚比起收入分配來，基尼系數要高得多！
【例3】截圖3是美聯儲的統計數據（不再重新抄寫），試據此估算截止2021年底全美總財富劃分的基尼系數。
由于大家對計算方法已經比較熟悉，這里只列表不畫圖。
計算如下：
S1=2.65%×50%÷2=0.006625；
S2=（2.65+30.3）%×40%÷2=0.0659；
S3=(30.3+67.8) %×9%÷2=0.04415；
S4=(67.8+99.99)%×1%÷2=0.00839；
SB=0.1251；SA=0.5-0.1251=0.3749；
G=0.3749÷0.5=0.7498。
即：截止2021年底全美總財富劃分的基尼系數約為0.7498.
看完例2和例3，不知你有何想法？
最后再重復一遍：用“折線法”估算出來的基尼系數,比真正的
基尼系數G要小一些。 【全文結束】
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